利用圆规找到等距离的点，利用直尺连结两点成一直线，可以完成作图：
1 作一直线，作一圆；
2 作一个圆，作出它的直径；
3 作一线段，并作它的垂直平均线；
3 过直线上的一点，作出该直线的垂线；
4 作一直线与已知直线平行，作平行四边形；
5 平分一段线段成若干等份；
6 二等份平分某角；
7 作一30度角；
8 作一60度角；作一正三角形；
9 三等份、六等份及任意等份圆周；
10 作正多边形；
11 作简单的对称图形；
还有一些用尺规能完成的作图，
数学上，有哪些让人拍案叫绝的证明过程？
在数字彩票中，存在着一种特殊的数字和数组：反码数
其验证和推算就是很简单，而且可以得到一 一对应的反码数，这里教三种方法，一个比一个简单，看完说不定你很快就学会推出反码数。
以比较流行的双色球和大乐透为例
所谓反码数：个位数与十位数互换，互换后＞33（双色球红球最大数是33）的，要减去33或33的二倍数66。
三组反码红球02 20,16 28，蓝球07 04
如近期大乐透（02 20）就是反码数同出，个位数与十位数互换
如16→28
按公式来16→61大于33
61-33=28
反过来
28→82-33=59还大于33
59-33=16
化简就是82-66=16
16和28可以相互推导，所以叫做反码数，简称反码。
还有一组特殊反码：11 22 33，他们个位数与十位数相同，互换后还是其本身。所以把他们归为一组，俗称特殊反码三胞胎，他们也喜欢在某段时候同时出没！
有人会反问？大乐透有35个红球，如果互换后大于35，再减去35或其2倍70，还能得到一 一对应的反码数吗？
答：不一定得到一 一对应的反码数
除了01 02 03,11 12 13,20 21 22 23，31 32 33，他们互换后反码都小于35，其他的互换后都大于35了
那我们可以验证一下
如
14→41-35=07→70-35=35→53-35=18→81-70=11
长长的一串数字，反推回来还是推不回来14.所以不要自作聪明非得-35.
有一种比较好的方法把34 35归到（01 10 34）和（02 20 35）内，也称反码三胞胎
推导还是要-33
34大于33
所以34-33=01
互换后43-33=10
而01 10又是反码
所以把34与01 10互为反码数
同样的方法也可以推出35与02 20互为反码数
反码数在彩票中的妙用① 反码数同出，容易出现重号或落号如近期的大乐透02 20同出后，第二期两个都重号了
② 反码十字加减法也能推出一 一对应的反码数
如
19 25
02 20
上下对应相加
19+02=21
25+20=45，大于33，45-33=12
21 12互为反码数
上下对应相减
19-02=17
25-20=05
05 17互为反码数05→50-33=17,17→71-33-33=05
③ 姊妹反码互推法也能推出一 一对应的反码数
如04 07是互为反码数
04→40-33=07
07→70-66=04
04 07的间距是3,07-04=3
用数组推号公式：左减间距，右加间距
04-3=01←（04 07）→07+3=10
01 和10互为反码数
当你继续推的时候会发现
左边是31 右边是13，也是互为反码数
01-3=-2，-2+33=31
这和常见的012路一样，只要你记得
1路的04 07反码组
2路的26 29反码组
0路的15 18反码组
左减3，右加3，就可以推出相应的反码组
这样更容易记忆
以上是官旺老师教我的数字密码，分享给大家，希望在思路上有点启发，有所收获！
感谢官旺老师！
我来说说个人体会吧。虽然现在没有从事数学相关的工作，甚至连曾经学过的数学也差不多忘光了，但依然有些数学证明，至今难忘。而我小时候，第一次品尝到数学这门学科的魅力，正是来自这些巧妙的证明，这让我养成了特别喜欢做证明题的兴趣，它远远比简单的计算要更有意思，常常为了证明一道题而冥思苦想甚至茶饭不思。
引我进入数学证明大门的一道题，其实很简单：请证明不存在最大的素数
早在公元前300年，欧几里得就证明了这道题，不存在最大的素数。
所谓素数是指大于1，只能被1和自身整除的自然数。
比如2是素数，它也是唯一即是素数又是偶数的数，因为下一个偶数4，就不再是素数，它可以被2整除，能被2整除本来就是偶数的定义。因此，任何大于2的数，如果它是一个素数，那它必须是一个奇数。但当然不是所有奇数都是素数，比如数字9，它是奇数，但它能被3整除，因此它不是一个素数。
注意，所有大于1且非素数的数，一定能被一个素数整除。
比如，所有大于2的偶数都能被2这个素数整除。
至于奇数，要么是素数，要么能被素数整除。
因为非素数的奇数一定是3、5、7、11、13..... 这些素数的倍数，即能被这些素数整除，如果不能被这些素数整除的奇数，那么它自身就一定是个素数呀。
让我们换种方式写一下数字。
1,2,3,2*2,5,2*3,7,2*4,3*3,2*5,11,2*6（3*4）,13,2*7,3*5，
要想证明这道题，除了知道素数的定义，还需要知道这个至关重要的基础：
至于奇数，要么是素数，要么能被素数整除。
如果你尝试写下1~10000以内的素数，你会看到一个规律，那就是随着数字增大，素数出现的频率开始降低，毕竟数字越大，它就越有可能被另一个数整除，不是么？后世的数学家们发现，从不大于数字N的范围内随机抽一个数，它恰好是一个数字的概率略为1/lnN（ln 自然对数），当N非常非常非常大的时候，您可以将它简化为1/N，很明显数字越大，你恰好随机抽到一个素数的概率就越小，但注意这个概率将永不等于零，哪怕N趋近于无限大也一样，因为这只是素数出现频率的估计，的确数字越大，素数将越来越稀少，但无论它多么少，素数总是存在着，这就是证明题的魅力，我们很早以前就知道了：不存在最大的素数。
最初，我看到这道题的时候，还是个熊孩子，看到这道题的感觉完全就是懵逼的，一头雾水，狗咬乌龟找不到下嘴的地方，直到我看了答案，才恍然大悟拍案惊奇，从此学会了一种至关重要的思维方式，受益终生，不仅仅是在数学上，也在别的地方有用。
反证法如何证明不存在最大的素数呢？
如果找不到一种正面的证明方式，那么不妨让我们先假设存在一个最大的素数，然后在此基础上进行推理，看是否会得到一个荒谬的结果，如果能，那就说明我们的假设是错的，即存在一个最大素数的假设是错的，由于答案只能是二选一，没有更多选择，这时候否定了一方，就等于肯定了另一方，因为两者必居其一。要么存在最大的素数，要么不存在，没有第三种可能性。
现在，让我们看看推理过程，别怕，这是小学生都能看得懂的过程，当然，你得先记住什么是素数。让我再重复一下。
大于1且只能被1或自身整除的数，就是素数，大于2的时候，所有的素数都必然是奇数。而奇数，它要么是一个素数，要么能被一个素数整除。
1、假设存在最大的素数，它等于N。
只要我们能推翻这个假设，就意味着不存在最大的素数。
2、那么我们可以利用数字N，构造出一个新的数字M，它=2*3...*N+1
这个加1很重要，是整个证明的精华所在，是回头来看时拍案惊奇之处，毕竟我就是告诉你，这道题要用反证法来证明，你也得找到具体的证明办法才行。
3、注意，新数字M是个奇数，所以M要么是一个素数，要么不是一个素数
3.1 假如数字M是素数，那么M>N，即存在最大素数的假设是个错误，证毕。
3.2 假如数字M不是素数，那么必然存在一个素数X，能整除M。
4、由于M = 1*2*3*....*N +1 ，这就意味着从2开始一直到N，作为除数去除M，都不可能把M整除，即M/(2....N)都不可能是一个整数，总会有一个余数1。因此X必然大于N。由于X是个素数，因此原假设存在最大的素数N，不正确，因为还有比它更大的素数X。按照同样的逻辑，我们可以证明X也不是最大的素数，您只需要把上面的证明流程再循环一次就能得到比X大的素数，无穷无尽。
我来举个实例吧，
假设N=5是最大的素数
那么M=2*3*4*5+1 = 121
121不是一个素数
它可以被素数11整除
但11>5，所以5是最大的素数被否证。
同样11也不是最大的素数
因为2*3******11+1 = 39916801，
这个数本身就是一个素数，它可比11大得多。
这样的过程可以无限循环，但数字迅速增大，超过人力计算的范畴
但证明题的魅力就在于，只要逻辑正确，前提无误，我们就脱离了硬算的限制，进入自由世界。
欢迎关注
谢谢点赞