数学视界，引领课堂走向深远——“用字母表示数”教学重构
背景
重构“用字母表示数”的教学，是从遇到的教学尴尬开始的。学习“用字母表示数”后，请学生解答“四(1)班。人，四(2)班比四(1)班多6人，四(2)班有多少人”，结果却有70％以上的孩子认为：缺少条件，不能解答!
我联想，课前和孩子围绕“你知道在哪些地方运用字母”的交流中，孩子说：不知道是多少时就用字母替代。看来，孩子的内在逻辑是：a代表未知数，“a+6”也是未知数，题目中没有告诉。是多少，自然也就无法知道“a+6”是多少。
用字母表示数难道是因为不知道这个数量是多少吗?难道就凭这样的意义，用字母表示数被称为人类认识的一次飞跃吗?
研读数学史，可以发现用字母表示数的数学本质并不是如此。从历史上看，人类最初表达代数问题，一切算法皆用普通文字。公元4世纪，古希腊丢番图首先用“数”的希腊发音中的第一个字母来表示数。这之后，许多数学家纷纷效仿。但用音节的缩写来表示未知量以及其他代数符号，每一种缩写，其本身都具有先人为主的意义，因而其价值只不过有所简略而已。到了17世纪，法国数学家韦达设想寻找一种求解各种类型方程的通用方法，他不仅用字母表示未知量，而且也用字母表示已知量及其运算，超越了各类数量的具体特点，从一般意义上用字母来表示它们，被公认是代数学发展历史上的一座里程碑。
很显然，用字母表示数的过程，不是字母替代文字的过程，而是具体数量符号化的过程。我进一步追思，数学的每一次发展都伴随着思维方式的提升。从具体的数到抽象 的字母，表达形式的递进背后，意味着思维方式上有着怎样的变化?学生认为不能解答是否也有思维方式没有转变的原因?算术关注的是计算结果，代数关注的是数量关系。为了易于发现数量关系，代数中可以将两个量之间的关系看做最后的结果。即两个班人数间的关系是“a+6”，人数多的班级也就是有“a+6”人。而从算术的角度看，这还只是个算式，并没有得出最后结果。可见，怎样引导学生实现这种思维方式的转变同样很有必要。
思辨至此，新的教学思路已跃然纸上。
重构
课前谈话：引导学生说说认识了哪些字母，在生活中哪些地方运用了字母。
一、唤起经验，准备建构
师：孩子们，通过课前的谈话，老师知道大家对于字母都很熟悉。实际上，生活中运用字母，每一个字母都表示了特定的含义。例如CCTV，把它说完整应该是：China Central Television(课件出示这个词组)，表示“中国中央电视台”，CCTV就是这种完整说法的——
生：(轻声地)缩写。
(师随学生的应答板书“缩写”)
师：在数学中也有这样的运用，例如，“一个西瓜重2．5千克”(课件出示)，我们把它表示成——
生：2.5kg。
师：这里的“kg”就是英文单词
“kilogram”的缩写(课件出示这个单词)。一个小朋友身高1.2米，往往说成——
生：(齐)1.2m。
师：同样，这里的“m”是英语单词“meter”的缩写(课件出示这个单词)。当然在数学中，字母的运用更多地表现在其他方面。例如，“2，4，6，x，10……”(课件出示)，这里的x表示什么意思?
生：表示一个未知数。
(师板书：未知数)
师：在这一列数中，x表示多少?能表示其他数吗?
生：只能是8。
师：看来它还是一个特定的数。
(师板书：特定)
师：孩子们，今天我们学习的“用字母表示数”，它还是这样的含义吗?(手指板书“缩写特定未知数”)相信大家会有新体会的，我们边学边交流。
二、引领反思，逐步建构
1．让学生亲历用字母表示数的 抽象概括过程。
师：大家看屏幕(课件出示3根小棒搭成的三角形)，摆2个这样的三角形需要几根小棒?
生：(齐)2×3=6，需要6根。
师：算式“2×3”告诉了我们，求一共用多少根小棒用三角形的个数乘3，而且看到了算式，我们也就知道了最后结果是6。既然如此，我们就在算式外面加括号，把这个算式看做一个整体，直接用这样的形式来表示最后的结果。
[课件出示：(2×3)根]
师：摆3个三角形呢?
生：(3×3)根。
师：摆4个、5个三角形呢?
(生答略)
师：你知道这里还可以摆几个三角形?
生：8个。
生：10个。
生：无数个。
师：好，那我们来个小比赛，给大家半分钟时间，也用这样的算式来表示摆三角形用的小棒根数，比一比谁写得多。有三个要求：一是从摆8个三角形开始写；二是只写 算式，不画三角形；三是算式对齐写。预——备，开始!
(生纷纷动笔疾书)
师：停，时间到！哪个同学说说，你写的最后一道算式表示摆几个三角形时用的小棒根数?
生：15×3，表示摆15个三角形用的小棒根数。
生：19×3，表示摆19个三角形用了多少根小棒。
师：看来大家都写了不少算式。
那么，你有什么要说的吗?
生：一个三角形的根数是不变的，所以这些算式中都有一个数3。
师：另一个数怎样?
生：一直在变化。
生：一直在增加。
师：行。刚才是半分钟，如果让大家写3个小时，你又想说什么?
生：还是写不完。
师：“还是写不完”是什么意思?难道写3天就能写完吗?
生：写不完。
师：也就是这些算式永远也写不完。很简单的道理，因为三角形可以一直摆下去。现在，老师请你们用一道算式表示摆三角形的各种情况，把你们已经写的和还没有写的
算式都包括进来。行吗?
生：n×3。
生：省略号乘3。
生：a×3。
师：学习如同登山，当攀登上高峰后，应该回头看看美妙的风景。我们回想一下，刚才你们提到的字母是怎么来的。用小棒摆三角形，可以摆26个，可以摆100个，可以摆518个，可以摆2300个，等等。这样的算式有无数个，然后就想到了用字母来表示它们。看来，这里的字母是个有魔力的字母，表面上看只是一个字母，但它的背后实际上是——
生：(齐)无数个数。
师：对，它的作用和省略号有相通之处，而且比省略号更规范。我们就用字母来表示。(手指板书“缩写未知数特定”)那么这里的字母还是这些意思吗?
生：不是。
师：有了什么发展?
(生稍稍思考后，举起了小手)
生：原来是特定的数。现在是不定的数了。
生：自由了。
生：是变化的。
(师板书：变化。并引导学生体会这里的数不能是小数、分数，只能是自然数)
师：还只能表示未知数吗?
生：不是，是已知数了。
(师板书：已知数)
师：既然是已知数，为什么还要用字母表示呢?
(思考片刻后，五六个学生举起了手)
生：因为这个数的范围很大，我们不确定它到底是多少。
生：因为它有无数个。
生：因为它太多了，一个个地说,说不完。
师：正因为这样的数大多了，所以我们用一个字母把它们都——
生：(异口同声地)概括进来。
师：对。而且我们约定，用26个字母中的前几个字母表示已知数，用最后几个字母，例如x、y、z表示未知数。那么，它们还是“缩写”的意思吗?不急，我们继续来学习。
2．体会含有字母的式子既表示关系也表示结果。
师：今天，老师还带来了一个神奇的魔盒，神奇在什么地方?比如，数19经过它的加工变成了44。(课件出示“19”飞入一个盒子，从盒子的另一端飞出“44”。生被屏
幕上的盒子吸引住了，不由自主地发出了“咦”)
师：怎么样?再来一次。
(课件出示：数“58”经过魔盒加工变成“83”；数“187”经过魔盒加工变成“212”)
师：老师都实验三次了，你们找到出来的数和进去的数之间的关系了吗?
生：变大了。
师：那到底是按什么规律变大的呢?
(生在凝神思考)
师：不怪大家，换了我也不容易发现。这说明了什么道理?说明有时我们如果只关注问题的最终结果的话，会失去许多新发现的机会。所以，摆三角形用了多少根小棒，要求大家直接用算式来表示最终的结果。我们用同样的方法，把计算的算式作为我们思考的对象，老师估计每一位同学都会有发现的!
(课件将数“44”“83”“212”分别变成“19+25”“58+25”“187+25”)
生：进去的数都加了25。
师：真是这样吗?哪个同学来试一试?
(随学生的回答，分别输入100、25，魔盒分别输出“100+25”“25+ 25”。随机演示两次后，学生们的情绪更热烈了)
师：这么多同学都想试!哪位同学说一个数，把这么多同学想试的数都包括进来?
(生听了问题后，稍稍收了收举着的手，接着把手举得更高了)
生：a。
师：老师刚才要求你说一个数，你怎么说了一个字母啊?
生：这样的数太多了。
师：不错，能自觉地想到用字母表示数了。
(师在课件中输入“a”，盒子输出“a+25”)
师：这里的“a”，你希望它表示什么呢?
生：295。
师：哪位同学给她补充，就是295吗?
生：425。
师：就是425吗?
生：是所有的数。
师：说具体些，“所有的数”可以是——
生：整数。
师：还可以是——
生：(小声地)小数。
师：在这里，可以是小数吗?
生：(声音响亮地)可以的。
师：还可以是——
生：(齐)分数。
师：也就是刚才这位同学说的，是“所有的数”，真棒!
师：实验之后，我们不妨回过头来看看。刚才，我们输入“a”，输出的是“a+25”(板书：a+25)，它表示了输出的数，就是最后的结果。
(师板书：结果)
师：哪位同学知道这个神奇的盒子是按照什么关系来加工输入的数的?
(师板书：关系)
生：把进去的数加上25。
师：行，能用含有字母的式子来表达吗?
生：x+25。
师：如果输入的数用字母“a”表示呢?
生：就是a+25。
师：真是如此吗?
(师课件演示：魔盒打开，盒子里写着“a+25”)
师：如果用字母“c”表示输入的数，输出的数是——
生：c+25。
师：两个数之间的关系就是——
生：c+25。
师：可见，像这样含有字母的式子既可以表示两个数之间的关系，也可以表示其中的一个数。
(板书中，师在“关系”和“a+25”、“结果”和“a+25”之间用线连起来)
三、拓展应用，完善建构
师：最后，老师带来了两个有意思的小活动。(课件出示：编故事魔力框)我们先来编故事。故事的主角是“4×a”。老师先作个示范。(掂掂学生的数学书)如果a表示一本数学书的质量，那么4×a就是——
生：(异口同声)4本数学书的质量。
师：而且是4本同样的数学书的质量。很容易吧?下面，哪个同学来编?
生：(拿着自己的铅笔)如果a表示这支铅笔的质量，4×a就表示4支铅笔的质量。
师：而且是同样的铅笔的质量。
行，换个题材，哪个说?
生：a表示这个笔袋的质量，4×a表示4个同样笔袋的质量。
师：非常好，强调了是“同样的笔袋”，但是说的还是质量，能说说其他吗?
生：a表示数学书的封面面积，4×a就是4本数学书的封面面积。
生：a表示这支钢笔的长度，4×a就是4支同样钢笔的长度。
生：a表示我这支钢笔的价钱，4×a就是4支相同钢笔的价钱。
生：a表示一本练习本的厚度，4×a就是4本同样练习本的厚度。
师：好，能说得完吗?
生：(响亮地)不能!
师：对，世界上只要两个量之间有4倍关系的，都被概括在“4×a”里了。大家把“4×a”讲得这样丰富多彩，老师就讲个这方面的历史故事吧。
(生鼓起了掌)‘
师：在历史上，数量和数量之间的关系，我们人类最初是用这样的文字表达的(课件出示：每个质量×4，每个价钱×4，每班人数×4，其中“质”“价”“人”用红色标出)。用文字来表达，显然比较烦琐。因而，古希腊数学家丢番图想到了用“缩写”的 方法来表示。仿照丢番图的方法，这里的“每个质量×4”，取“质”发音的第一个字母，表示成“z×4”。那么“每个价钱×4”就缩写成——
生：j×4。
师：“每班人数x 4”就表示成——
生：r×4。
师：丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系，虽然简洁了，但每个字母都表示特定的意思，不能把z×4和j×4混同起来，所以，并没有给数学家研究数学带来更大的方便。到17世纪，法国数学家韦达想：如果把各种情境中序母表示的特定意思都去掉的话，不都是4和一个数量相乘吗?(课件中“z×4”“j×4”“r×4”依次变为“□×4”)所以，韦达就表示成了aX4，这里的。还是特定的意思吗?
生：(异口同声)不是!
师：对，字母“a”已经不表示任何具体的意义，和这里的小方框一样，只是一个符号而已。自从韦达把字母当做符号来表示数之后，许多数学难题得到了解决，数学获得了飞速发展，韦达被称为现代代数学之父。故事的最后，老师想请大家猜猜，从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当做符号来表示数，用了多少年?
……
(师课件出示百数表：每行10个数，一共10行，按顺序从1排到100。接着，用两个小正方形拼成的长方形框去框表中的数，每次框出了两个数)
师：试了几次，你能不用框就能报出可以框出哪两个数吗?老师报前面的数，大家报出后面的数。
师：16。
生：(齐)17。
师：78。
生：(齐)79。
师：30。
生：(犹豫地)31。
生：好像框不出31。
师：为什么?
生：因为30在上面一行，31在下面一行。
师：好，观察非常仔细。现在我们看，很显然用这样的框去框百数表中的数，可以有很多种可能，能用一种方式把这样的两个数都概括进去吗?
生：用字母表示。
生：前面的数是a，后面的数就是a+l，a不能是整十数。
(全课总结，略)
剖析
笔者重构“用字母表示数”的教学，试图更多地从数学的视界阐释教学的另一种意义。具体地说，在教学设计中：
一、立足于数学发展史，关注数学理解
在具体的教学实施中，笔者有意抠了下面的细节：直面学生运用字母的各种经验，并加以调适和精致化。学生只有意识到以往的字母运用更多的是缩写或者表示特定的未
知数，才能认识到现在用字母表示的是变化的已知数，进而体会字母的符号概括作用。
着力引导学生经历由具体到抽象的过程，在体验的基础上，引领反思，提升认识(“摆三角形”“数学魔盒”后的回顾总结)。
设计“编故事”的练习，进一步体会“用字母表示数”的概括性，并详述从丢番图到韦达用字母表示数的抽象历程，这样，数学历史不再仅仅是一种事实性的告诉，而充盈着人类智慧不断增长的历程，为学生构建数学理解提供了支撑。
二、立足于数学学习心理，突出数学思维
数学概念可以区分为“过程”和“对象”两个相互依赖的侧面，用字母表示数就是无数次解决特定问题的思维由“过程”向“对象”凝聚的结晶。像“四(1)班有30人，四(2)班有32人”，这个问题的“过程”属性侧重于表达“由两个班的人数可以得到两班的人数和”的计算过程，关注“30+32=62'’，但这样的加法算式只能表示这个特定情境中的特定问题，不具有一般性。当学生积累了相当的学习经验后，就可以引导他们不仅仅关注一次次计算的过程，而把算法的本身作为数学思考的对象：两个班的人数不管有怎样的变化，两个班一共有“a+b”人。从这里我们可以清晰地体会到由“过程”到
“对象”，不是简单的词面字义上的更替，而是思维方式上的提升。
由于小学生在学习“用字母表示数”之前，主要是“过程”层面的思维方式，形成的思维定势是列出的算式要算出确定的结果。这种思维方式对将一个代数式作为思考的对象，是不能接受的，学生总觉得“这还没有算完呢”。而“对象”层面的思维方式偏偏更多地关注算法本身，结果是多少是次要的。因此，学生学习“用字母表示数”的另一个难点是：能将含有字母的式子既看做一个过程，更能看做一个对象，是抽象性的关系和确定性的结果的统——体。至此，我们也就能完全理解那70％以上的学生问题出在哪里了。有些学生虽然没有直接作出“不能解答”的应答，但写了“a+6=”。看似只是多写了“=”，但反映出其心理上还是希望计算出结果，并没有将算法本身作为思维对象。
从学生数学学习的实际情况看，数学思维由“过程”向“对象”的凝聚，往往不是一种自觉的行为。而正因为此，学生在学习过程中就常常表现出较大的学习困难。例如，英国的儿童数学概念发展水平研究小组(CSMS)曾经对3000名13岁至15岁的学生使用字母的情况做过调查研究，结果发现虽然在教学中表达了对象的一般性，但只有很少 学生能将字母看成广义的数，而有能力将字母当做变量的就更少了，大多数学生是把字母解释成特定的未知数。因而，引导学生“脱身”出来，作为一个旁观者来看待自己刚 才做了些什么事情，将自己所做的过程置于被自己思考的地位上加以考虑，这种反思无疑是思维自觉地由“过程”向“对象”转变的关键所在。为了引导学生感悟、体会这样的思维方式，在教学中安排了这样三个层次的学习：
感知。在计算摆三角形的小棒根数时，引导学生直接用算式来表示最后结果。
体验。在探究魔盒中输出的数与输入的数有什么关系时，有意安排了“观察输出的数不易得到两数间关系，而把算法本身作为思考的对象时很容易发现两数间关系”的 环节，引导学生体会这种思维方式的价值。
运用。在“魔力框”的练习中，创设了引导学生运用这种思维方式的情境，让学生尝试运用。
参考资料：
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2级
学习小学数学的心得体会
研究性学习是以问题为载体，通过学生自主解决问题的过程来进行学习。通过学生主动探究式的学习，让学生感受与体验知识产生、发展和形成的过程，培养学生收集、整理、分析、处理信息资料的能力，培养学生提出和解决问题的能力，培养学生创新精神和实践能力。
小学数学的研究性学习正是要引导学生去发现他所未知的问题，通过数学手段来解决问题，且能用数学解决问题的策略迁移到其它问题的解决上。
《数学课程标准》中提出“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而时学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”
我们的学生对知识的探究能力、创造能力，被教师不经意的注入式教学扼杀了。他们对数学学习越来越不感兴趣，还怎么能更深入地进行创新呢?在小学数学中进行研究性学习，是改变这一现状的有效途径和方法 。
那么，在小学数学教学中如何进行研究性学习呢?根据对本书的学习以及自己的教学实践，我认为在小学数学教学中要进行研究性学习，要做到以下几点。
1．要激发学生主动参与的兴趣。苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界里，这种需要特别强烈、”教师要引导学生进入研究性学习，就要激发学生心灵深处的那种强烈的探求欲望，使其产生强大的内部动力。
2．注意联系学生生活实际。现代教育理论认为，数学源于生活，生活充满着数学，数学教学应寓于生活实际，且运用于生活实际：所以，数学教师在教学中要有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激起学生学习数学的求知欲，寻找生活中的数学问题，运用所学知识分析、解决实际问题，引导他们进行研究性学习。
3、重视再现知识过程。
4、要尽量让学生自己去研究发现。在教学中，教师应当经常给学生提供能引起观察、研究的环境，善于提出一些学生既熟悉而又不能立刻解决的问题，引导他们自己去发现和寻找问题的答案，把学习的主动权交给学生，多给学生一些研究的机会，多一些成功的体验，多一份创造的信心。
5、要注意培养学生的创造性思维。对小学生来说，能够独立解题并有独到见解，这就是科学研究的缩影，也是他们在人生道路上探究创新的初步尝试。在教学中教师要鼓励学生敢于打破常规，别出心裁，勇于标新立异，寻找与众不同的解题途径，启发他们从多角度、多侧面、多渠道进行大胆尝试，提出新颖、独特的解题方法，这样有利于发展学生的创造性思维 。
基于以上的认识，我认为在小学数学教学中开展研究性学习可以激发起学生学习的欲望，可以在动手实践、自主探索与合作交流中帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，提高学生的能力.